Fraktale sind geometrische Gebilde, die mathematisch beschrieben werden können. Der Terminus Fraktal wurde vom Mathematiker Benoit Mandelbrot im Jahr 1975 eingeführt. Jenen Teilbereich der Mathematik, der sich damit beschäftigt, wird fraktale Geometrie genannt.

Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz

Fraktale Gebilde weisen eine Selbstähnlichkeit auf sowie eine sehr hohe Skaleninvarianz. Die Skaleninvarianz oder Skalenunabhängigkeit bedeutet, dass ein Objekt und seine Eigenheiten unabhängig vom Betrachtungswinkel stets gleich bleiben. Dadurch entsteht an vielen Stellen des Objekts ein ähnliches Bild, das als Selbstähnlichkeit bezeichnet wird. Zur Analyse dieser Fraktale werden einzelne mathematische Funktionen, die dem Gebilde zugrunde liegen, untersucht. Bei einer Funktion sind verschiedene Punkte einer Kurve relevant. Dazu gehören die Nullstellen oder die Wendepunkte. Wenn eine derartige Funktion skaleninvariant ist, bedeutet das, dass die Nullstellen und Wendepunkte immer gleich bleiben, egal mit welcher Skala sie auch betrachtet werden.

Anwendungen

Die Analyse von Fraktalen sowie die mit ihr verbundene fraktale Geometrie spielen in manchen Bereichen eine entscheidende Rolle. Dazu zählt zum Beispiel die Teilchenphysik. Dort wird die Ausdehnung von Quarks mit Strukturfunktionen beschrieben. Quarks sind Bestandteile von Nukleonen. Durch die Invarianz ihrer Strukturfunktion wird ersichtlich, dass diese Quarks in den Nukleonen zwar als Bestandteile fungieren, jedoch selbst keine räumliche Ausdehnung haben.

Auch in der statistischen Physik setzt man sich mit fraktaler Geometrie auseinander. Hier analysiert man beispielsweise bestimmte Phasenübergänge. Derartige Phasenübergänge sind in der Thermodynamik wichtige Parameter. Für die Materialforschung sind solche Phasenübergänge ebenfalls bedeutend.

Die fraktale Geometrie ist ein ziemlich diffiziler Bereich der Mathematik. Ihr Studium erfordert grundlegende mathematische Kenntnisse und dazu noch ein Gespür für mathematische Algorithmen.